Question

（2007•陕西）如图，在直角梯形OBCD中，OB=8，BC=1，CD=10．
（1）求C，D两点的坐标；
（2）若线段OB上存在点P，使PD⊥PC，求过D，P，C三点的抛物线的表达式．

Answer

（1）过点C作CE⊥OD于点E，则四边形OBCE为矩形．利用矩形的性质可求得：C，D两点的坐标分别为C（8，1），D（0，7）．（2）根据PC⊥PD，可知∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∠2=∠3．则Rt△POD∽Rt△CBP，可求PO：1=7：（8-PO）．求得PO=1，或PO=7．则点P的坐标为（1，0），或（7，0）．设经过D，P，C三点的抛物线表达式为y=ax2+bx+c，分别利用待定系数法可求得①当点P的坐标为（1，0）时，所求抛物的表达式为：y=x2-x+7．
②当点P为（7，0）时，所求抛物线的表达式为：y=x2-x+7．
【解析】
（1）过点C作CE⊥OD于点E，则四边形OBCE为矩形．
∴CE=OB=8，OE=BC=1．
∴．
∴OD=DE+OE=7．
∴C，D两点的坐标分别为C（8，1），D（0，7）．（4分）

（2）∵PC⊥PD，
∴∠1+∠2=90度．
又∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
∴Rt△POD∽Rt△CBP．
∴PO：CB=OD：BP．
即PO：1=7：（8-PO）．
∴PO2-8PO+7=0．
∴PO=1，或PO=7．
∴点P的坐标为（1，0），或（7，0）．（6分）
①当点P的坐标为（1，0）时，
设经过D，P，C三点的抛物线表达式为y=ax2+bx+c，
则，
∴，
∴所求抛物线的表达式为：y=x2-x+7．（9分）
②当点P为（7，0）时，设经过D，P，C三点的抛物线表达式为y=ax2+bx+c，
则，
∴
∴所求抛物线的表达式为：y=x2-x+7．（10分）
（说明：求出一条抛物线表达式给（3分），求出两条抛物线表达式给4分）