Question

（2007•上海）已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心．
（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；
（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC•AO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．

Answer

（1）证O在∠MAN的平分线上，可证O到角两边的距离相等，分两种情况：
①OB不与AM垂直，过O作OT⊥AN，OH⊥AM，可通过构建全等三角形来求解．
连接OB，OP，则OB=OP，只需证明△OHB与△OTP全等即可．
这两个三角形中，已知的条件有OB=OP，一组直角．只需再证得一组角对应相等即可，∠HOT和∠BOP都等于120°，因此∠BOH=∠TOP，则两三角形全等，OT=OH．由此得证．
②当OB⊥AM时，由于OB=OP，只需证明OP⊥AN即可．
由于∠BOP=120°，而∠ABO=90°，∠MAN=60°，根据四边形的内角和为360°，即可求得OP⊥AN，由此可得证．
（2）本题要通过相似三角形ACP和ABO来求解．
这两个三角形中，已知了∠BAO=∠CAP（在1题中已经证得）．
只需再找出一组对应角相等即可，在△ACP和△OBC中，∠CAP=∠OBC=30°，∠ACP=∠BCO，因此∠APC=∠AOB，由此证得两三角形相似，可得出关于AB，AC，AO，AP的比例关系式，据此可求出y，x的函数关系式．
（3）本题分三种情况：
①圆I在△BPQ外，且与BP边相切，此时D、P重合，AD=AP=2，AB=4，∠MAN=60°，因此△ABP为直角三角形，不难得出△ABO也是直角三角形，因此可得出△ABO≌△APB，AO=BP=2；
②圆I在△BPQ内，与BP，PQ边相切时，此时P与A重合，可在直角三角形ODA中，根据AD=2，∠DAO=30°，求得AO=；
③圆I在△BPQ内，与BQ边相切时，A，O重合，因此AO=0．
（1）证明：如图1，连接OB，OP．
∵O是等边三角形BPQ的外心，
∴圆心角∠BOP==120°．
当∠MAN=60°，不垂直于AM时，作OT⊥AN，则OB=OP．
由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°，且∠A=60°，∠AHO=∠ATO=90°，
∴∠HOT=120度．
∴∠BOH=∠POT．
∴Rt△BOH≌Rt△POT．
∴OH=OT．
∴点O在∠MAN的平分线上．
当OB⊥AM时，∠APO=360°-∠A-∠BOP-∠OBA=90°．
即OP⊥AN，
∴点O在圆I的平分线上．
综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在∠MAN的平分线上．

（2）【解析】
如图2，
∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°，
∴∠BAO=∠PAO=30°．
由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°，
∴∠CBO=30°，
∴∠CBO=∠PAC．
∵∠BCO=∠PCA，
∴∠AOB=∠APC．
∴△ABO∽△ACP．
∴．
∴AC•AO=AB•AP．
∴y=4x．
定义域为：x＞0．

（3）【解析】
①如图3，当BP与圆I相切时，AO=2；
②如图4，当BP与圆I相切时，AO=；
③如图5，当BQ与圆I相切时，AO=0．