Question

（2007•成都）如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，于点D，AD⊥BC过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为，求BD和FG的长度．

Answer

（1）根据切线判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，从而可以确定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中点，就可得出结论BF=EF．
（2）要证PA是⊙O的切线，就是要证明∠PAO=90°连接AO，AB，根据第1的结论和BE是⊙O的切线和直角三角形的等量代换，就可得出结论．
（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的长度．
（1）证明：∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，
∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE．
∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴．
∴．
∵G是AD的中点，
∴DG=AG．
∴BF=EF．

（2）证明：连接AO，AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF．
∴∠FBA=∠FAB．
又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO．
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBO=90°．
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是⊙O的切线．

（3）【解析】
过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，
∴FH∥BC．
由（2），知∠FBA=∠BAF，
∴BF=AF．
由已知，有BF=FG，
∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH⊥AD，
∴AH=GH．
∵DG=AG，
∴DG=2HG．
即．
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，
∴四边形BDHF是矩形，BD=FH．
∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG，
∴．
即．
∵⊙O的半径长为3，
∴BC=6．
∴．
解得BD=2．
∴BD=FH=2．
∵，
∴CF=3FG．
在Rt△FBC中，
∵CF=3FG，BF=FG，
∴CF2=BF2+BC2∴（3FG）2=FG2+（6）2
解得FG=3（负值舍去）
∴FG=3．