Question

（2010•贵阳）如图，在直角坐标系中，已知点M的坐标为（1，0），将线段OM绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁，使得M₁M⊥OM，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到线段OM₂，如此下去，得到线段OM₃，OM₄，…，OM_n
（1）写出点M₅的坐标；
（2）求△M₅OM₆的周长；
（3）我们规定：把点M_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x_n，纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点M_n的“绝对坐标”．根据图中点M_n的分布规律，请你猜想点M_n的“绝对坐标”，并写出来．

Answer

（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出M1、M2、M3、M4的坐标，然后求M5的坐标．
（2）要求周长，就先根据各点的坐标求出三角形的三边长，然后再求周长．
（3）点Mn的“绝对坐标”可分三类情况来一一分析：当点M在x轴上时；当点M在各象限的分角线上时；当点M在y轴上时．
【解析】
（1）由题得：OM=MM1，
∴M1的坐标为（1，1）．
同理M2的坐标为（0，2），
M3的坐标为（-2，2），
M4的坐标为（-4，0），
M5（-4，-4）．                                              （4分）

（2）由规律可知，，
，
OM6=8．                                                      （6分）
∴△M5OM6的周长是．                                   （8分）

（3）由题意知，OM旋转8次之后回到x轴的正半轴，
在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上，
但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，
因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：
①当n=4k时（其中k=0，1，2，3，），点在x轴上，则Mn（，0）；（9分）
②当n=4k-2时（其中k=1，2，3，），点在y轴上，点Mn（0，）；（10分）
③当n=2k-1时，点在各象限的角平分线上，则点Mn（2，2）．（12分）