Question

（2007•眉山）如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于M，过M（1，-1）作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于P．
（1）找出图中一对全等三角形，并加以证明（正方形的对角线分正方形得到的两个三角形除外）；
（2）设正方形ABCD的边长为1，按照题设方法作出的四边形BGMP，若是菱形，求BE的长．

Answer

根据题意先求得∠CGM=45°，再得到DM=BG，从而得出△DMP≌△EBG，再利用勾股定理和菱形的性质解答．
【解析】
（1）△DMP≌△EBG．
证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形，
∴DC=BC，∠C=∠GBE=90°，
∠CDB=∠BEG=∠BGE=45°，
∴∠CGM=45°，
∴∠CMG=∠CGM，
∴CM=CG，
∴DM=BG，
∵MN⊥AB，
∴∠DMP=90°．
∴∠DMP=∠GBE=90°．
∴△DMP≌△EBG．

（2）解法一：设正方形BEFG的边长为x，
∵BGMP是菱形，
则DM=MP=BG=MG=x，MC=CG=1-x，
在Rt△MCG中，有（1-x）2+（1-x）2=x2
即x2-4x+2=0
解这个方程得x1=2-，x2=2+
∵BE＜AB，
∴x2=2+舍去．
∴当正方形BEFG的边长为2-时，四边形BGMP是菱形．

解法二：设正方形BEFG的边长为x，
∵BGMP是菱形，
∴DM=MP=MG=BG=x．
∴MC=CG=1-x．
在Rt△MCG中，
∵°CMG=45°，
∴sin∠CMG=．
即．
∴．
∴当正方形BEFG的边长为2-时，四边形BGMP是菱形．