Question

（2007•眉山）如图，矩形A′BC′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）．
（1）如果二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过O，O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得△POM为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标和△POM的面积；若不存在，请说明理由；
（3）求边C′O′所在直线的解析式．

Answer

（1）连接BO，BO′则BO=BO′，求出O′，M点坐标，列出方程组求出未知数的值，进而求出二次函数的解析式；
（2）设存在满足题设条件的点P（x，y）连接OM，PM，OP，过P作PN⊥x轴，求出P点坐标和△POM的面积．
（3）已知O′（2，0），点D的横坐标为1，由相似关系求其纵坐标，用待定系数法求解析式．
【解析】
（1）连接BO，BO′，则BO=BO′
∵BA⊥OO′
∴AO=AO′
∵B（1，3）
∴O′（2，0），M（1，-1），
∴，
解得a=1，b=-2，c=0，
∴所求二次函数的解析式为y=x2-2x．

（2）设存在满足题设条件的点P（x，y），
连接OM，PM，OP，过P作PN⊥x轴于N，则∠POM=90°
∵M（1，-1），A（1，0），|AM|=|OA|
∴∠MOA=45°
∴∠PON=45°，
∴|ON|=|NP|即x=y
∵P（x，y）在二次函数y=x2-2x的图象上
∴x=x2-2x
解得x=0或x=3
∵P（x，y）在对称轴的右支上
∴x＞1
∴x=3y=3即P（3，3）是所求的点．
连接MO′，显然△OMO′为等腰直角三角形．O′为满足条件的点O′（2，0），
∴满足条件的点是P（2，0）或P（3，3），
∴OP=3，OM=
∴S△POM=OP•OM=3或S△POM=OM•OM′=1；

（3）设AB与C′O′的交点为D（1，y）
显然Rt△ADO′≌Rt△C′DB，
在Rt△ADO′中，AO′2+AD2=O′D2
即1+y2=（3-y）2
解得y=
∴D（1，），
设边C'O'所在直线的解析式为y=kx+b则，
解得k=-，b=，
∴所求直线解析式为y=-x+．