Question

已知α，β是关于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值为    ．

Answer

先求出两根之和与两根之积的值，再将（α-1）2+（β-1）2化简成两根之和与两根之积的形式，最后利用二次函数的性质求最小值．
【解析】
∵一元二次方程x2-2ax+a+6=0有两个实根；
∴△=4a2-4×（a+6）=4a2-4a-24≥0；
解得：a≤-2或a≥3；
∵α，β是关于x的一元二次方程x2-2ax+a+6=0的两个实根；
∴α+β=2a，α•β=a+6；
（α-1）2+（β-1）2=α2+1-2α+β2-2β+1=α2+β2-2（β+α）+2
=（α+β）2-2αβ-2（α+β）+2
=4a2-2×（a+6）-2×2a+2
=4a2-6a-10
=4（a-）2-；
∵a≤-2或a≥3；
∴（a-）2≥（）2；
∴4（a-）2-≥8；
则（α-1）2+（β-1）2的最小值为8．