Question

（2007•自贡）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y=x²-2ax+b²交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是（a+c，0）．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，①求cosC的值；②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND（D为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．

Answer

（1）已知抛物线y=x2-2ax+b2经过点M（a+c，0），根据勾股定理可得△ABC为直角三角形．
（2）由S△MNP=3S△NOP得出MO=4ON．又可推出点N的坐标，可求出a与c的等量关系式．令ED=MN=EM，可得a，b与c的关系．
（1）证明：∵抛物线y=x2-2ax+b2经过点M（a+c，0）
∴（a+c）2-2a（a+c）+b2=0（1分）
∴a2+2ac+c2-2a2-2ac+b2=0
∴b2+c2=a2．（5分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形；（2分）

（2）【解析】
①如图所示；
∵S△MNP=3S△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON．（5分）
又M（a+c，0）
∴（3分）
∴a+c，是方程x2-2ax+b2=0的两根
∴3．（5分）
∴（4分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得．（5分）
∴（5分）
②能．（5分）
由（1）知y=x2-2ax+b2=x2-2ax+a2-c2=（x-a）2-c2
∴顶点D（a，-c2）（6分）
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM，DN=DM
要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=MN=EM．（5分）
∵M（a+c，0）D（a，-c2）
∴DE=c2EM=c
∴c2=c又c＞0，
∴c=1（7分）
∵c=ab=a
∴a=b=．（5分）
∴当a=，b=，c=1时，△MNP为等腰直角三角形．（8分）