Question

（2007•天津模拟）如图，已知等边三角形△ABC内接于⊙O₁，⊙O₂与BC相切于C，与AC相交于E，与⊙O₁相交于另一点D，直线AD交⊙O₂于另一点F，交BC的延长线于G，点F为AG的中点．对于如下四个结论：①EF∥BC；②BC=FC；③DE•AG=AB•EC；④弧AD=弧DC．其中一定成立的是（ ）

A．①②④
B．②③
C．①③④
D．①②③④

Answer

①连接CF，CD．运用弦切角定理过渡到证明内错角相等，从而证明平行；
②FC=CE=BC；
③根据射影定理证明DE•AG=AB•EC；
④根据∠BCD=90°，则BD是直径，又弧AB=弧BC，根据垂径定理的推论有弧AD=弧CD．
【解析】
①连接CF，CD，
∵⊙O2与BC相切于C，
∴CD是直径，
∴∠CFD=90°，
∵F是AC的中点，
∴∠GCF=∠FCA=60°，
∴∠DCE=∠DCF=30°，
∴∠EDC=∠FDC=60°，
∴CE=CF，∠CEF=∠CFE，
∵⊙O2与BC相切于C
∴∠FCG=∠FEC
∴∠FCG=∠EFC
∴EF∥BC，故正确；
②∵EF∥BC
∴∠CEF=60°
∴三角形CEF是等边三角形
∴FC=CE=BC，故错误；
③根据EF∥BC，CD⊥EF，得CD⊥CG，
∴CD是小圆的直径，则∠CFD=90°，
根据直角三角形CDG中的射影定理，得CF2=DF•DG，
再结合上述的证明结论，即可得到DE•AG=AB•EC，故正确；
④根据∠BCD=90°，得BD是大圆的直径，
∵等边三角形△ABC内接于⊙O1，
∴∠ABD=∠CBD，
∴弧AD=弧DC，故正确．
故选C．