Question

（2007•天津）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．
问：是否存在点P，使得QP=QO；    （用“存在”或“不存在”填空）．若存在，满足上述条件的点有几个？并求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由：    ．

Answer

点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．
【解析】
①根据题意，画出图（1），
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCQ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，
∴∠QPO=∠OCQ+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
即∠OCQ+30°+∠OCQ+30°+∠OCQ=180°，
解得∠OCQ=40°，
即∠OCP=40°．

②当P在线段OA的延长线上（如图2）
∵OC=OQ，∴∠OQP=①，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得∠QOC=20°，则∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；

③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=①，
∵OQ=PQ，
∴∠P=②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④联立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．

故答案为：40°、20°、100°．