Question

（2007•天津）已知关于x的一元二次方程x²+bx+c=x有两个实数根x₁，x₂，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（1）试证明c＞0；
（2）证明b²＞2（b+2c）；
（3）对于二次函数y=x²+bx+c，若自变量取值为x，其对应的函数值为y，则当0＜x＜x₁时，试比较y与x₁的大小．

Answer

（1）利用根与系数的关系，来可以求出c和两根之和、两根之积的关系式，然后利用已知条件就可以证明题目结论；
（2）利用根与系数的关系得出x1+x2=-（b-1），x1•x2=c，把它们代入（x2-x1）2可得出b2-2b-4c+1，然后再利用（x2-x1）2＞1求出b2-2b-4c＞0即可证明；
（3）本题主要用作差法来比较y与x1的大小，先把x，x1分别代入方程得出关于y，与x1的代数式，再用作差法比较大小．
【解析】
（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即x2+（b-1）x+c=0，
∵x1，x2是该方程的两个实数根
∴x1+x2=-（b-1），x1•x2=c，
而x1＞0，x2＞x1+1＞0，
∴c＞0；

（2）（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1x2=（b-1）2-4c
=b2-2b-4c+1，
∵x2-x1＞1，∴（x2-x1）2＞1，
于是b2-2b-4c+1＞1，即b2-2b-4c＞0，
∴b2＞2（b+2c）；

（3）当0＜x＜x1时，有y＞x1，
∵y=x2+bx+c，x12+bx1+c=x1，
∴y-x1=x2+bx+c-（x12+bx1+c）=（x-x1）（x+x1+b），
∵0＜x＜x1，
∴x-x1＜0，
又∵x2-x1＞1
∴x2＞x1+1，x1+x2＞2x1+1，
∵x1+x2=-（b-1）∴-（b-1）＞2x1+1，
于是2x1+b＜0
∵0＜x＜x1
∴x+x1+b＜0，
由于x-x1＜0，x+x1+b＜0，
∴（x-x1）（x+x1+b）＞0，即y-x1＞0，
∴当0＜x＜x1时，有y＞x1．