Question

（2007•乌鲁木齐）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点B坐标为，BC∥y轴且与x轴交于点C，直线OB与直线AC相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）若以点O为圆心，OP的长为半径作⊙O（如图2），求证：直线AC与⊙O相切于点P；
（3）过点B作BD∥x轴与y轴相交于点D，以点O为圆心，r为半径作⊙O，使点D在⊙O内，点C在⊙O外；以点B为圆心，R为半径作⊙B，若⊙O与⊙B相切，试分别求出r，R的取值范围．

Answer

（1）设直线OB的解析式为y=k1x，可得，所以直线OB的解析式为y=x；设直线AC的解析式为y=k2x+6，根据点C（2，0）在直线AC上得，所以直线AC的解析式为y=-x+6，直线AC与直线OB的解析式联立方程组，解得点P的坐标；
（2）利用三角函数值求得∠BOC=30°，又∠ACO=60°所以∠OPC=90°，故以OP为半径的⊙O与直线AC相切于点P；
（3）D点坐标为（0，2），C点坐标为（2，0），要使点D在⊙O内，点C在⊙O外，则⊙O的半径r应满足，因为⊙O与⊙B相切，故R=4-r或R=4+r，结合2可知4-2或．
（1）【解析】
设直线OB的解析式为y=k1x，
∵点B（2，2）在直线OB上，
∴，
∴直线OB的解析式为y=x，
设直线AC的解析式为y=k2x+6，
∵点C（2，0）在直线AC上，
∴，，
∴直线AC的解析式为y=-x+6，
直线AC与直线OB的交点P满足方程组
，
解得，
∴点P的坐标为；

（2）证明：∵，
∴∠OAC=30°，∠ACO=60°，
又∵，
∴∠BOC=30°又∠ACO=60°，
∴∠OPC=90°，
故以OP为半径的⊙O与直线AC相切于点P；

（3）【解析】
∵D点坐标为（0，2），C点坐标为（2，0），
要使点D在⊙O内，点C在⊙O外，则⊙O的半径r应满足，
∵在Rt△BOC中，∠BOC=30°，BC=2，
∴OB=4，
∵⊙O与⊙B相切，故有R+r=4或R-r=4，
从而有R=4-r或R=4+r，
∵2，
∴4-2或．