Question

已知方程x²+（a-3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是    ．

Answer

在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在恒有解下必须满足△=b2-4ac≥0．
【解析】
设f（x）=x2+（a-3）x+3，问题等价于 f（x）有一个零点在（1，2）内
根据二次方程根的分布，这等价于 f（1）•f（2）＜0
即[1+（a-3）+3]•[4+（a-3）2+3]＜0，
也即（a+1）•（2a+1）＜0
解得-1＜a＜-．
当△=0时，即b2-4ac=0，
∴（a-3）2-12=0，
∴a=2+3或-2+3，
∵恰有一个解大于1小于2，
∵当a=2+3时，x=-（舍）
∴当a=2+3不合题意，
当a=3-2时，x=，符合题意，
故答案为：-1＜a＜-或a=3-2．