Question

如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，
求证：∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．

Answer

根据等腰三角形三线合一的特点可知：CD垂直平分AB，因此不难得出∠ACB=2∠ACD、∠AEB=2∠AED、∠AFB=2∠AFD，因此本题证∠AFD+∠AEF+∠ACE=90°即可．根据2CD=3AB，且CD=3BF，可知BF=2AD；因此△AFD是等腰三角形，可得出∠AFD=45°，且AF2=2DF=EF•FC，由此可得出△AEF∽△CFA．那么∠CAF=∠AEF，由此即可得出∠AFD+∠AEF+∠ACE=90°，进而可得出本题所求的结论．
证明：∵2CD=3AB，
∴，
∵E，F为CD三等分点，D为AB中点，
∴AD=DF；
∴∠AFD=45°，
∴由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=2DF2
∵2DF2=EF（EF+CE）=FE•FC；
∴AF2=FE•FC，
∴=，
∵∠AFE=∠CFA，
∴△AEF∽△CFA，
∴∠CAF=∠AEF；
即∠ACD+∠AED=∠AFD=45°；
∴∠ACD+∠AED+∠AFD=90°，
∴∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．