Question

（2007•湖州）如图，P是射线y=x（x＞0）上的一动点，以P为圆心的圆与y轴相切于C点，与x轴的正半轴交于A、B两点．
（1）若⊙P的半径为5，则P点坐标是______；A点坐标是______；以P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式是______；
（2）在（1）的条件下，上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，请说明理由；
（3）试问：是否存在这样的直线l，当P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）如果圆的半径为5，那么P点的横坐标为5，可根据直线O的解析式求出P点的横坐标，连接PA，过P作PQ⊥BA于M，那么PQ=OC，由此在直角三角形OPQ中，根据圆的半径和P点的纵坐标求出AM的长，即可求出A点的坐标，然后用顶点式二次函数通式设抛物线的解析式来设抛物线的，然后将A点坐标代入其中即可求出抛物线的解析式．
（2）由题意可知：D点必在y轴上，因此可根据（1）的抛物线的解析式求出其与y轴的交点，即可判断出D点是否在抛物线上．
（3）可仿照（1）的解题过程进行求解．可先根据直线OP的解析式设出P点的坐标，然后用P点的横坐标仿照（1）的方法求出A，B两点的坐标，然后用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据这个顶点坐标即可得出所求的直线解析式．
【解析】
（1）P（5，3）；
A（1，0）；
y=-（x-5）2+3．

（2）C点关于原点的对称点D的坐标为（0，-3），
∵抛物线y=-与y轴的交点（0，-），
∴D点不在抛物线y=-（x-5）2+3上．

（3）设P（m，n），m＞0，则n=m，
过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，则AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=，
∴AQ=m，
∴A（，B（），C（0，），
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=a（x-m）（x-），
将C（0，）代入解析式，
得a=，
∴y=（x-m）（x-m）
=（x2-2mx+m2）
=[（x-m）2-m2]
∴y=（x-m）2-m
∴抛物线的顶点坐标为（m，-）
∴存在直线l：y=-，
当P在射线y=上运动时，过A，B，C三点的抛物线的顶点都在直线上．