Question

（2007•金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x正半轴上，且∠ABO=30度．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer

（1）先在直角三角形AOB中，根据∠ABO的度数和OA的长，求出OB的长，即可得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式．
（2）求等边三角形的边长就是求出PM的长，可在直角三角形PMB中，用t表示出BP的长，然后根据∠ABO的度数，求出PM的长．
当M、O重合时，可在直角三角形AOP中，根据OA的长求出AP的长，然后根据P点的速度即可求出t的值．
（3）本题要分情况进行讨论：
①当N在D点左侧且E在PM右侧或在PM上时，即当0≤t≤1时，重合部分是直角梯形EGNO．
②当N在D点左侧且E在PM左侧时，即当1＜t＜2时，此时重复部分为五边形，（如图3）其面积可用△PMN的面积-△PIG的面积-△OMF的面积来求得．（也可用梯形ONGE的面积-三角形FEI的面积来求）．
③当N、D重合时，即t=2时，此时M、O也重合，此时重合部分为等腰梯形．
根据上述三种情况，可以得出三种不同的关于重合部分面积与t的函数关系式，进而可根据函数的性质和各自的自变量的取值范围求出对应的S的最大值．
【解析】
（1）由OA=4，∠ABO=30°，得到OB=12，
∴B（12，0），设直线AB解析式为y=kx+b，
把A和B坐标代入得：，
解得：，
则直线AB的解析式为：y=-x+4．

（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=8，
∵AP=t，
∴BP=AB-AP=8t，
∵△PMN是等边三角形，
∴∠MPB=90°，
∵tan∠PBM=，
∴PM=（8-t）×=8-t．
如图1，过P分别作PQ⊥y轴于Q，PS⊥x轴于S，
可求得AQ=AP=t，PS=QO=4-t，
∴PM=（4-）÷=8-t，
当点M与点O重合时，
∵∠BAO=60°，
∴AO=2AP．
∴4=2t，
∴t=2．

（3）①当0≤t≤1时，见图2．
设PN交EC于点G，重叠部分为直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．
∵∠GNH=60°，，
∴HN=2，
∵PM=8-t，
∴BM=16-2t，
∵OB=12，
∴ON=（8-t）-（16-2t-12）=4+t，
∴OH=ON-HN=4+t-2=2+t=EG，
∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6．
∵S随t的增大而增大，
∴当t=1时，Smax=8．
②当1＜t＜2时，见图3．
设PM交EC于点I，交EO于点F，PN交EC于点G，重叠部分为五边形OFIGN．
作GH⊥OB于H，
∵FO=4-2t，
∴EF=2-（4-2t）=2t-2，
∴EI=2t-2．
∴S=S梯形ONGE-S△FEI=2t+6-（2t-2）（2t-2）=-2t2+6t+4
由题意可得MO=4-2t，OF=（4-2t）×，PC=4-t，PI=4-t，
再计算S△FMO=（4-2t）2×
S△PMN=（8-t）2，S△PIG=（4-t）2，
∴S=S△PMN-S△PIG-S△FMO=（8-t）2-（4-t）2-（4-2t）2×
=-2t2+6t+4
∵-2＜0，
∴当时，S有最大值，Smax=．
③当t=2时，MP=MN=6，即N与D重合，
设PM交EC于点I，PD交EC于点G，重叠部
分为等腰梯形IMNG，见图4．S=×62-×22=8，
综上所述：当0≤t≤1时，S=2t+6；
当1＜t＜2时，S=-2t2+6t+4；
当t=2时，S=8．

∵，
∴S的最大值是．