Question

（2007•丽水）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO面积．将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S．
（1）分析与计算：求正方形ODEF的边长；
（2）操作与求【解析】

①正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S＞0）的变化情况是______；
A、逐渐增大B、逐渐减少C、先增大后减少D、先减少后增大
②当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值；
（3）探究与归纳：
设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x，求重叠部分面积S与x的函数关系式．

Answer

（1）根据梯形及正方形的面积公式和它们的面积相等，可求出正方形的边长；
（2）由图形的移动可知，从OF出发，重叠部分面积逐渐增大，当OF和BC重合时面积最大，继续移动时，面积将减小；求重叠部分面积时，可将其转化为S梯形AMDG+S矩形AGCB．
（3）依据题意将图形平移，由于移动的距离不同，重叠部分为三角形、五边形和矩形，①利用三角形的面积公式列等式；②根据梯形面积公式列等式；③④利用分割法将五边形化为三角形和梯形解答；⑤根据矩形面积公式解答．
【解析】
（1）∵SODEF=SABCO=（4+8）×6=36，（2分）
设正方形的边长为x，
∴x2=36，x=6或x=-6（舍去）．（2分）

（2）由图形的移动可知，从OF出发，重叠部分面积逐渐增大，
当OF和BC重合时面积最大，继续移动时，面积将减小．
故选C．（2分）
过点A作AG∥BC交x轴于G，所以AE=DG=EB-AB=6-4=2．当正方形ODEF顶点O移动到点C时，OD=OC-CD=8-6=2；
于是重叠部分的面积是S=S梯形AMDG+S矩形AGCB=（3+6）×2+6×4=33．（3分）

（3）①当0≤x＜4时，重叠部分为三角形，如图①．
可得△OMO′∽△OAN，
∴，MO′=．
∴S=×x•x=x2．（1分）

②当4≤x＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．
S=（x-4+x）×6×=6x-12．（1分）

③当6≤x＜8时，重叠部分为五边形，如图③．
可得，点A坐标为（4，6），故OA的解析式为：y=x，
∴MD=（x-6），AF=x-4．
S=×（x-4+x）×6-（x-6）（x-6）
=-x2+15x-39．（1分）

④当8≤x＜10时，重叠部分为五边形，如图④．
S=SAFO'DM-SBFO′C=-x2+15x-39-（x-8）×6
=-x2+9x+9．（1分）

⑤当10≤x≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤．S=[6-（x-8）]×6=-6x+84．（1分）

（用其它方法求解正确，相应给分）．