Question

如图：已知a为正常数，F₁（-，0），F₂（，0），过F₂作直线l，点A，B在直线l上，且满足AF₁-AF₂=BF₁-BF₂=2a，M，N分别为△AF₁F₂，△BF₁F₂的内切圆的圆心．
（1）设⊙M与F₁F₂相切于点P₁，⊙N与F₁F₂切于点P₂，试判断P₁与P₂的位置关系，并加以证明；
（2）已知sin∠BF₂F₁=，且MN=，试求a的值．

Answer

（1）解题的关键是能够根据切线长定理把其中的线段进行转换；
（2）结合（1）中的结论，根据两圆相切的性质得到三点共线，充分利用切线的性质构造一个直角梯形．作另一高，根据锐角三角函数的概念求得NH，即DE的长．再根据切线长定理以及（1）的结论，得到F1F2的关于a的关系式，再结合已知条件得到关于a的方程，列方程求解．
【解析】
（1）P1与P2重合．
证明：由题意得AC=AD，
∵AF1-AF2=2a，
∴CF1-DF2=2a；
又∵F1C=F1P1F2D=F2P1，
∴P1F1-P1F2=2a，
同理P2F1-P2F2=2a，
∴P1与P2重合．

（2）由（1）知：MP1⊥F1F2，NP2⊥F1F2，P1，P2重合．
∴M，P1，N共线，且MN⊥F1F2，
连接MN，NE，MD，则∠NED=∠MDE=90°
过N作NH⊥MD，H为垂足；
∵∠MP1F2=∠MDF2=90°，∠HMN=∠BF2F1，
∴sin∠HMN=sin∠BF2F1=，
又MN=，
∴NH=MNsin∠HMN=4，
∴ED=4；
而DF2=F2P1=F2E，
∴F2P1=2，
又由（1）P1F1-P1F2=2a，
∴P1F1=2+2a，
∴P1F1+P1F2=2+2+2a=2，
解得a=4．