Question

（2007•衢州）如图，点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃）…，B_n（n，y_n）（n是正整数）依次为一次函数y=x+的图象上的点，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x₁=a（0＜a＜1），△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…△A_nB_nA_n+1分别是以B₁，B₂，B₃，…，B_n为顶点的等腰三角形．
（1）写出B₂，B_n两点的坐标；
（2）求x₂，x₃（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；
（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=x+的图象上的点，所以分别令x=2，x=n，求出相应的y值即可；
（2）因为△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高垂直平分底边，可知x2-1=1-x1，x3-2=2-x2，其中x1=a，所以x2=2-a，x3=4-x2=2+a，
分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系时，分两种情况，当顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a；顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a；
（3）可设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（，化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值；当n为偶数时，有2a=2（，同样化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值．
【解析】
（1）；

（2）x2=2-a，x3=2+a，
结论1：顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a，
结论2：顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a，
结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2．

（3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（，化简得：，
∴，∴n=1或3
∴a=或，
当n为偶数时，有2a=2，得：，
∴，∴n=2
∴a=，
综上所述，存在直角三角形，且a=或或．