Question

（2007•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，）．将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax²-2x经过点A，点D是该抛物线的顶点．
（1）求证：四边形ABCO是平行四边形；
（2）求a的值并说明点B在抛物线上；
（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；
（4）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标．

Answer

（1）由旋转的性质可知：△AOC≌△ABC，由此可得出四边形AOCB的两组对边分别对应相等．由此可得证．
（2）由于抛物线过A点，因此可将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值和抛物线的解析式．
要判断B是否在抛物线的解析式上，首先要求出B点的坐标，由于四边形APCB是平行四边形，OA=2，因此将C点向右平移2个单位即可得出B点的坐标，然后将B的坐标代入抛物线的解析式中即可判断出B是否在抛物线上．
（3）先根据（2）的抛物线的解析式求出顶点D的坐标，然后求出OB、AD的长，当∠APD=∠OAB时，可得出△APD∽△OAB，进而可得出关于AP，AD、OA、OB的比例关系式．设出P点的坐标，然后用P的横坐标表示出AP的长，即可根据上面的比例关系式求出P点的坐标．
（4）

分三种情况进行讨论：
①如第一个图：此时QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P点的坐标为（1，0）；
②如第二个图：此时OP=OA+AP=3，P点的坐标为（3，0）；
③如第三个图：此时D，Q两点的纵坐标互为相反数，因此Q点的坐标为（0，），根据A，D的坐标可求出直线AD的解析式为y=x-2，由于QP∥AD，因此直线PQ的解析式为y=x+，可求得P点的坐标为（-1，0）．
因此共有3个符合条件的P点的坐标．
（1）证明：∵△AOC绕AC的中点旋转180°，
点O落到点B的位置，
∴△ACO≌△CAB．
∴AO=CB，CO=AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．

（2）【解析】
∵抛物线y=ax2-2x经过点A，
点A的坐标为（2，0），
∴，
解得：．
∴y=x2-2x．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥CB．
∵点C的坐标为（1，），
∴点B的坐标为（3，3）．
把x=3代入此函数解析式，得：y=×32-2×3=3．
∴点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上．
∴顶点D的坐标为（1，-）．

（3）连接BO，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点D作DF⊥x轴于点F．
tan∠BOE=，tan∠DAF=，
∴tan∠BOE=tan∠DAF．
∴∠BOE=∠DAF．
∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB．
设点P的坐标为（x，0），
∴，
∴，
解得：x=．
∴点P的坐标为（，0）．

（4）P1（1，0），P2（-1，0），P3（3，0）．