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manfen5.com 满分网(2008•房山区一模)如图,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=OB=1,经过原点O的直线l交线段AB于点C,过C作OC的垂线,与直线x=1相交于点P,现将直线L绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但C点必须在第一象限内,并记AC的长为t,分析此图后,对下列问题作出探究:
(1)当△AOC和△BCP全等时,求出t的值;
(2)通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论;
(3)①设点P的坐标为(1,b),试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围.
②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标.
(1)△AOC和△BCP全等,则AO=BC=1,又∵AB=,t=AB-BC=-1; (2)过点C作x轴的平行线,交OA与直线BP于点T、H,证△OTC≌△CHP即可; (3)根据题意可直接得出b=1-t;当t=0或1时,△PBC为等腰三角形,即P(1,1),P(1,1-),但t=0时,点C不在第一象限,所以不符合题意. 【解析】 (1)△AOC和△BCP全等,则AO=BC=1, 又AB=, 所以t=AB-BC=-1; (2)OC=CP. 证明:过点C作x轴的平行线,交OA与直线BP于点T、H. ∵PC⊥OC, ∴∠OCP=90°, ∵OA=OB=1, ∴∠OBA=45°, ∵TH∥OB, ∴∠BCH=45°,又∠CHB=90°, ∴△CHB为等腰直角三角形, ∴CH=BH, ∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°, ∴四边形OBHT为矩形,∴OT=BH, ∴OT=CH, ∵∠TCO+∠PCH=90°, ∠CPH+∠PCH=90°, ∴∠TCO=∠CPH, ∵HB⊥x轴,TH∥OB, ∴∠CTO=∠THB=90°,TO=HC,∠TCO=∠CPH, ∴△OTC≌△CHP, ∴OC=CP; (3)①;(0<t<) ②t=0时,△PBC是等腰直角三角形,但点C与点A重合,不在第一象限,所以不符合, PB=BC,则-t=|1-t|, 解得t=1或t=-1(舍去), ∴当t=1时,△PBC为等腰三角形, 即P点坐标为:P(1,1-).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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