Question

如图，已知⊙O₂交⊙O₁于A、B两点，且过⊙O₁的圆心O₁，AC是⊙O₁的弦，直线CB交⊙O₂于点D（异于A、B）．求证：DO₁⊥AC．

Answer

连接AD，AO1，CO1，BO1；由于AO1=BO1，则在⊙O2中：弧AO1=弧BO1，由圆周角定理知∠ADO1=∠BDO1；在⊙O1中，CO1=BO1，由等边对等角知，∠O1CB=∠O1BC；由于A，B，D，O1四点共圆，根据圆内接四边形的性质知，∠O1BC=∠O1AD=∠O1CB；
由AAS可证得△CDO1≌△ADO1，则AD=CD，DO1为等腰△ACD的顶角平分线；由等腰三角形的性质：顶角的平分线与底边上的高重合知，DO1⊥AC．
证明：连接AD，AO1，CO1，BO1；
∵AO1=BO1，
∴弧AO1=弧BO1，∠ADO1=∠BDO1；
在⊙O1中，CO1=BO1，
∴∠O1CB=∠O1BC；
∵A，B，D，O1四点共圆，
∴∠O1BC=∠O1AD=∠O1CB；
∵O1D=O1D，∠O1AD=∠O1CB，∠ADO1=∠BDO1，
∴△CDO1≌△ADO1；
∴AD=CD，∠ADO1=∠CDO1；
∴DO1⊥AC．