Question

已知a，b，c为实数，且a²+b²+c²+2ab=1，2ab（a²+b²+c²）=，一元二次方程（a+b）x²-（2a+c）x-（a+b）=0的两根为α，β．试求2α³+β^-5-β^-1的值．

Answer

根据根与系数的关系可以把a2+b2+c2和2ab看作是方程t2-t+=0的两根，求得两根后，则有a2+b2+c2-2ab=0，（a-b）2+c2=0，因此根据几个非负数的和为0，则它们同时为0，求得a，b，c的值，再进一步得到关于x的方程，再根据根与系数的关系变形求解．
【解析】
由已知，
得a2+b2+c2及2ab是方程t2-t+=0的两根．
而方程t2-t+=0的两根为t1=t2=，
∴a2+b2+c2=2ab=．
解得，
于是，题设方程可化为x2-x-1=0①．
由α，β是方程①的两根，
则α+β=1，且．
由②得α2=α+1，
从而α3=α•α2=α（α+1）=α2+α=2α+1．
显然β≠0，
将③两边分别除以β，β2．
得．
而β-3=β-1•β-2=（β-1）（2-β）=3β-β2-2=2β-3．
β-5=β-2•β-3=（2-β）（2β-3）=7β-2β2-6=7β-2（β+1）-6=5β-8．
∴2α3+β-5-β-1=4（α+β）-5=-1．