Question

（2007•义乌）如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp-yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）存在四个这样的点．

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4-，0）；
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．
【解析】
（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3
∴A（-1，0）B（3，0）
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3
∴C（2，-3）
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）
E（x，x2-2x-3）
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，
∴当时，PE的最大值=；

（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+，0），F4（4-，0）．

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4-，0）．
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．