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(2008•上海)已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图),...

(2008•上海)已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图),E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.
(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;
(3)连接BD,交线段AM于点N,如果以A,N,D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长.
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(1)△ABM中,已知了AB的长,要求面积就必须求出M到AB的距离,如果连接AB的中点和M,那么这条线就是直角梯形的中位线也是三角形ABM的高,那么AB边上的高就是(AD+BE)的一半,然后根据三角形的面积公式即可得出y,x的函数关系式; (2)根据以AB,DE为直径的圆外切,那么可得出的是AD+BC=AB+DE,那么可根据BE,AD的差和AB的长,用勾股定理来表示出DE,然后根据上面分析的等量关系得出关于x的方程,即可求出x的值,即BE的长; (3)如果三角形ADN和BME相似,一定不相等的角是∠ADN和∠MBE,因为AD∥BC,如果两角相等,那么M与D重合,显然不合题意.因此本题分两种情况进行讨论: ①当∠ADN=∠BME时,∠DBE=∠BME,因此三角形BDE和MBE相似,可得出关于DE,BE,EM的比例关系式,即可求出x的值. ②当∠AND=∠BEM时,∠ADB=∠BEM,可根据这两个角的正切值求出x的值. 【解析】 (1)取AB的中点H,连接MH, ∵M是线段DE的中点 ∴MH=(BE+AD),MH∥AD, ∵∠DAB=90°, ∴AD⊥AB, ∴MH⊥AB, ∴S△ABM=AB•MH得y=x+2;(x>0) (2)过点D作DF⊥BC交于F,由图形可得DE=, 又∵MH=AD+BE=(AD+BE), 即(x+4)=[2+]. 解得x=. 即线段BE的长为. (3)因为如果三角形ADN和BME相似,一定不相等的角是∠ADN和∠MBE,因为AD∥BC,如果两角相等,那么M与D重合,显然不合题意,故应分两种情况进行讨论. ①当∠ADN=∠BEM时,那么∠ADB=∠BEM, 作DF⊥BE,垂足为F, tan∠ADB=tan∠BEM. AB:AD=DF:FE=AB:(BE-AD). 即2:4=2:(x-4). 解得x=8. 即BE=8. ②当∠ADB=∠BME, 而∠ADB=∠DBE, ∴∠DBE=∠BME, ∵∠E是公共角, ∴△BED∽△MEB, ∵,即BE2=DE•EM, ∴BE2=DE2, ∴x2=[22+(x-4)2], ∴x1=2,x2=-10(舍去), ∴BE=2. 综上所述线段BE为8或2.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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