Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．
（1）求证：RQ是⊙O的切线；
（2）求证：OB²=PB•PQ+OP²；
（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．

Answer

（1）要证明RQ是⊙O的切线只要证明∠OQR=90°即可；
（2）先证明△BCP∽△AQP，从而得到PB•PQ=PC•PA，整理即可得到OB2=PB•PQ+OP2；
（3）分别考虑当RA=OA时或与A重合时，∠B的度数，从而确定其取值范围．
证明：（1）连接OQ；
∵OB=OC，PR=RQ；
∴∠OBP=∠OQP，∠RPQ=∠RQP；
∵∠OBP+∠BPO=90°，∠BPO=∠RPQ；
∴∠OQP+∠RQP=90°；
即∠OQR=90°，
∴RQ是⊙O的切线．

证明：（2）延长AO⊙O交于点C；
∵∠BPC=∠QPA，∠BCP=∠AQP，
∴△BCP∽△AQP，
∴PB•PQ=PC•PA=（OC+OP）（OA-OP）=（OB+OP）（OB-OP）=OB2-OP2，
∴OB2=PB•PQ+OP2．

【解析】
（3）当RA=OA时，∠R=30°，易得∠B=15°，当R与A重合时，∠B=45°；
∵R是OA延长线上的点，
∴R与A不重合，
∴∠B≠45°；
又∵RA≤OA，
∴∠B＜45°，
∴15°≤B＜45°．