Question

平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．

Answer

题目中的n个点中不妨设这两个点为A1、A2，则可以分当∠A2A1An≥180°-和当∠A2A1An＜180°-两种情况进行讨论．根据三角形的内角和定理就可以证出．
【解析】
如图，在这n个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这两个点为A1、A2，其它各点按逆时针方向设为A3、A4、An．

（1）当∠A2A1An≥180°-时，连接A2An．
在△A1A2An中，∠A2A1An+∠A1AnA2=180-∠A2A1An≤
则∠A2A1An、∠A1AnA2中必有一个角不大于；

（2）当∠A2A1An＜180°-时，∠A2A1A3+∠A3A1A4+∠A4A1A5+…+∠An-1A1An＜180°-，
则在这n-2个角中，必有一个角不大于
设∠AiA1Ai-1≤，则△AiA1Ai-1即为所求三角形．