Question

（2008•芜湖）附加题：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）设AE=x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式．

Answer

（1）本题可分别证明四边形AEFD的两边平行，先求DF∥EA，也就是求∠BDC=90°，已知∠C是60°，可以通过等腰梯形的性质得出∠BAD=∠ADC=120°，在等腰三角形ABD中，AE是底边的高，根据等腰三角形三线合一的特点可得出∠BAE=∠EAD=60°，E是BD中点，那么∠ADB=30°，因此便可证得∠BDC=90°即可得出AE∥DF，下面证AD∥EF，EF是三角形DBC的中位线，EF∥BC∥AD，因此便可得出四边形AEFD是平行四边形．
（2）我们不难看出DG⊥EF，因此四边形EDFG的面积可用EF•DG来求．直角三角形AED中有AE的值，有∠ADB的度数，可以求出AD的长，也就求出了EF的长，同理可在三角形DGC中求出DG的长，这样就能求出四边形DEGF的面积了．
（1）证明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°．
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．
由AE⊥BD，
∴AE∥DC．
又∵AE为等腰△ABD的高，
∴E是BD的中点（等腰三角形三线合一）．
∵F是DC的中点，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）【解析】
在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=x，
∴AD=2x．
在Rt△DGC中∠C=60°，且DC=AD=2x，
∴DG=x．
由（1）知：在平行四边形AEFD中：EF=AD=2x，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF．
∴四边形DEGF的面积=EF•DG．
∴y=×2x•x=x2（x＞0）．