Question

已知抛物线y=x²-（2m-1）x+4m-6．
（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点A；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B（A、B不重合），顶点为C，若△ABC为直角三角形，试求m的值；
（3）在满足（2）的条件时，若点B在点A的左侧，试问：抛物线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）令x2-（2m-1）x+4m-6=0，利用求根公式可解得：x1=2m-3，x2=2，所以对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点A（2，0）．
（2）根据抛物线的对称性且△ABC为直角三角形，可得△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，过点C作CP⊥AB于P，则，利用抛物线y=x2-（2m-1）x+4m-6的顶点公式可知，顶点为，，可得4m2-20m+25=10-4m，解得，（舍去）或4m2-20m+25=4m-10，，（舍去），综合可得：m的值为或．
（3）先求得抛物线方程为y=x2-2x，设存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形，
i）若BD∥AC，设直线AC方程为y=k1x+b1，把A、C坐标代入直线方程得，直线AC方程为y=x-2，直线BD方程为y=x，联立方程组可求得交点坐标为D（3，3）．
ii）若AD∥BC，由于直线BC方程为y=-x，所以，可设直线AD的方程为y=-x+b2，把A（-2，0）代入得，y=-x+2，联立方程组可求得交点坐标为D（-1，3）．
所以抛物线上存在点D（3，3）或D（-1，3），使得以为A、B、C、D为顶点的四边形是梯形．
【解析】
（1）令x2-（2m-1）x+4m-6=0，
有求根公式解得：x1=2m-3，x2=2
∴对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点A（2，0）；

（2）根据抛物线的对称性且△ABC为直角三角形，可得△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°如图，
过点C作CP⊥AB于P，则，
∵抛物线y=x2-（2m-1）x+4m-6的顶点
为，
∴，
∴4m2-20m+25=10-4m，（舍去）
或4m2-20m+25=4m-10，（舍去）
综上可得：m的值为或

（3）依题意得：m=1.5，此时抛物线方程为y=x2-2x
设存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形，
i）若BD∥AC，设直线AC方程为y=k1x+b1，
把A、C坐标代入直线方程得，
解得
∴直线AC方程为y=x-2
∴直线BD方程为y=x
由
得
∴D（3，3）
ii）若AD∥BC，由于直线BC方程为y=-x，
所以，可设直线AD的方程为y=-x+b2，
把A（-2，0）代入得，0=-2+b2，
∴b2=2，∴y=-x+2．
∴
解得．
∴D（-1，3）
综上可得：抛物线上存在点D（3，3）或D（-1，3），使得以为A、B、C、D为顶点的四边形是梯形．