Question

（2008•南平）（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；
②探究：如图1，∠BOC=______；
如图2，∠BOC=______；
如图3，∠BOC=______；
（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O．
①猜想：如图4，∠BOC=360÷n（用含n的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．

Answer

（1）要证明△ABE≌△ADC，题中△ABD与△ACE均为等边三角形，容易得出AD=AB，AC=AE，对应全等条件找边，或夹角，可由∠DAB=∠EAC=60°转换得出∠DAC=∠BAE来证明；
（2）欲求∠BOC的度数，可以通过证明△ABE≌△ADC及正n边形的内角和定理，得出∠BOC+∠DAB=180°，得出∠BOC=360÷n度的结论．
【解析】
（1）①证法一
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
且∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ABE≌△ADC．

证法二：
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
且∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到，
∴△ABE≌△ADC，
②120°，90°，72°．

（2）①．
②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，
AB=AD，AE=AC，
∴∠BAD=∠CAE=，
∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠ADC+∠ODA=180°，
∴∠ABO+∠ODA=180°，
∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°，
∴∠BOC+∠DAB=180°，
∴∠BOC=180°-∠DAB=；

证法二：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠ABE=∠ADC，如图，延长BA交CO于F，
∵∠AFD+∠ABE+∠BOC=180°，∠AFD+∠ADC+∠DAF=180°，
∴∠BOC=∠DAF=180°-∠BAD=；

证法三：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BOC=180°-（∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∴∠BOC=180°-（∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠ADC+∠ACD=180°-∠DAC，
∴∠BOC=180°-（360°-∠BAC-∠DAC），
即∴∠BOC=180°-∠BAD=；

证法四：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠AEB=∠ACD．如图，连接CE，
∵∠BEC=∠BOC+∠OCE，
∴∠AEB+∠AEC=∠BOC+∠ACD-∠ACE，
∴∠BOC=∠AEC+∠ACE．
即∴∠BOC=180°-∠CAE=．
注意：此题还有其它证法，可相应评分．