Question

（2008•莆田质检）如图，在△ABC中，EG∥AC，ED的延长线交AC的延长线于F点．请你从①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF三个条件中，选择两个作为条件，另一个作为结论，写出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明．
已知在△ABC中，EG∥AC，ED的延长线交AC的延长线于F点，且______，______．求证：______．

Answer

根据平行线的性质得到∠1=∠F、∠2=∠3．已知DE=DF，∠EDG=∠FDC，所以利用ASA判定△EDG≌△FDC，得到EG=CF，再根据等腰三角形的性质得到∠B=∠2=∠3，从而得到BE=EG=CF．
解法1，如图，已知EG∥AC，AB=AC，DE=DF，
求证：BE=CF．
证明：∵EG∥AC，
∴∠1=∠F，∠2=∠3．
又∵DE=DF，∠EDG=∠FDC，
∴△EDG≌△FDC．
∴EG=CF．
∵AB=AC，
∴∠B=∠2．
∴∠B=∠3．
∴BE=EG．
∴BE=CF．

解法2，如图，已知EG∥AC，AB=AC，BE=CF，
求证：DE=DF．
证明：∵EG∥AC，
∴∠1=∠F，∠2=∠3．
∵AB=AC，
∴∠B=∠2．
∴∠B=∠3．
∴BE=EG．
∴EG=CF．
又∵∠EDG=∠FDC，
∴△DEG≌△DFC．
DE=DF．

解法3，如图，已知EG∥AC，DE=DF，BE=CF，
求证：AB=AC．
证明：∵EG∥AC，
∴2=∠3．
又∵∠EDG=∠FDC，DE=DF，
∴△DEG≌△DFC．
∴EG=CF．
∵BE=EG，
∴∠B=∠3．
∴AB=AC．