Question

（2008•莆田质检）（1）探究：如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，请猜测并写出线段DF、BE、EF之间的等量关系（不必证明）；
（2）变式：如图2，E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠EAF=∠BAD，则线段BE、EF、FD的等量关系又如何？请加以证明；
（3）应用：在条件（2）中，若∠BAD=120°，AB=AD=1，BC=CD（如图3），求此时△CEF的周长．

Answer

（1）结论虽然没有要求证明，从探求线段DF、BE、EF之间的等量关系可知，证明EF=BE+DF，需要将△ADF绕点A顺时针旋转90°，旋转后点F对应点M，构成△AME再寻找它与△AFE全等的条件；以此为启发，图（2），（3）用类似方法可解．
【解析】
（1）EF=BE+DF．

（2）EF=BE+DF．
证明：延长CB至M，使BM=DF，
∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
∠1=∠D，
又∵AB=AD，
∴△ABM≌△ADF．
∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AME≌△AFE．
∴EF=ME，即EF=BE+BM．
∴EF=BE+DF．

（3）连接AC，
∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠B=∠D，∠DAC=∠BAC．
∵∠B+∠D=180°，
∴∠B=90°，∠BAC=∠BAD=60°．
∴在Rt△ABC中，
BC=ABtan60°=，
由（2）得EF=BE+DF．
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=2BC=2．