Question

（2008•莆田）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠CAB=30°，CD⊥AB于点D，
（1）若CD=，求⊙O的半径；
（2）把△ACD沿AC折叠得到△ACE，求证：EC是⊙O的切线．

Answer

（1）结合图形，根据直角三角形的性质，可得AC与BC的值，根据勾股定理可得AB即直径的数值；进而求得圆的半径；
（2）根据折叠的性质，结合图形，可得∠OCE=90°，根据切线的定义，可得EC是⊙O的切线．
（1）【解析】
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
连接BC，
∴∠DCB=30°．
∴BC=2．
∴AC=2．
∵AB2=AC2+BC2=4+12=16，
∴AB=4．
∴⊙O的半径为2．

（2）证明：连接OC，可得∠OCB=2∠CAB=60°，
∵OC=OA，
∴△OCB是等边三角形．
∴∠OCB=60°．
又∵CD是AE的对称轴，
∴∠DCB=60°．
∴∠OCE=90°．
即OC⊥CE．
∴EC是⊙O的切线．