Question

（2008•莆田）阅读理【解析】
如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP•PC=AB•CD，解答下列问题．
（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：BP•PC=AB•CD；
（2）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于点O，以O为顶点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）
（i）当∠APD=60°时，求点P的坐标；
（ii）过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设PO=x，OE=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）本题要通过证△ABP和△PCD相似来解．已知∠B=∠APD=∠C，那么可得出它们的补角都相等，进而可求出∠BAP=∠DPC，∠BPA=∠PDC．由此可证得两三角形相似，即可得出所求的结论．
（2）①当∠APD=60°，符合了（1）题的条件，因此（1）的结论在本题适用，可据此求出BP的长，然后在直角三角形ABO中求出OB的长，由此可得出P点的坐标．
②本题要通过相似三角形进行求解．过D作DM⊥BC于M，可分两种情况进行讨论：
（一）：当P在OM上时，PM=OM-OP=5-x，可证△OPE∽△MDP，从而得出y与x的函数关系式；
（二）：当P在CM上时，PM=OP-OM=x-5，同样可证△OPE∽△MDP，从而得出y与x的函数关系式．
（1）证明：∵∠B=∠C=∠APD，
∴∠BAP+∠BPA=∠BPA+∠DPC=180°-∠B=180°-∠APD，
∴∠BAP=∠DPC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴BP：CD=AB：PC，
∴BP•PC=AB•CD．

（2）【解析】
①∵∠B=∠C=∠APD=60°，
由（1）知，BP•PC=AB•CD．
∵AB=4，BC=10，CD=6，
设BP=x，则PC=BC-BP=10-x，
∴x（10-x）=4×6，
整理，得x2-10x+24=0，
解得x=4或6，
即BP=4或6．
在直角△AOP中，∠AOP=90°，∠B=60°，
∴BO=AB•cos60°=2，
∴OP=BP-BO=2或4．
∴点P的坐标为（2，0）或（4，0）；
②过点D作DM⊥BC，则CM=3，DM=3，
∴OM=BC-BO-CM=10-2-3=5．
第一种情况：当点P在线段OM上，
∵∠POE=∠DMP=90°，∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM，
∴△OPE∽△MDP，
∴OP：DM=OE：PM，
∴x：3=y：（5-x），
∴y=-x2+x（0＜x≤5）；
第二种情况：当点P在线段CM上，
∵∠POE=∠DMP=90°，∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM，
∴△OPE∽△MDP，
∴OP：DM=OE：PM，
∴x：3=y：（x-5），
∴y=x2-x（5＜x＜8）．