Question

（2008•甘南州）如图，AB是半圆O的直径，F是半圆上一点，D是OA上一点，过点D作ED⊥AB，交半圆于点C，交BF的延长线于点E，连接AC，AF，BC．
（1）求证：∠E=∠BCF；
（2）求证：BC²=BF•BE；
（3）若BC=12，CF=6，BF=9，求sin∠AFC．

Answer

（1）根据圆周角定理可得∠1=∠2，由于AB是半圆O的直径，所以∠AFB=90°，即∠2+∠ABF=90°；由于ED⊥AB，所以∠E+∠ABF=90°；故∠E=∠2=∠1，即∠E=∠BCF．
（2）由（1）可知∠E=∠BCF，因为∠CBF=∠CBF，故△BCE∽△BFC；
根据相似三角形的性质即可求出BC2=BF•BE．
（3）将圆补全，利用割线定理解答．
（1）证明：∵∠1=∠2，∠AFB=90°，
∴∠2+∠ABF=90°；
∵∠ABF+∠E=90°，
∴∠E=∠1，即∠E=∠BCF；

（2）证明：在△BCE与△BFC中，∠E=∠BCF，∠CBF=∠CBF；
故△BCE∽△BFC，∴=，即BC2=BF•BE；

（3）【解析】
将半圆补全，延长ED，交⊙O于K．
∵BC2=BF•BE，BC=12，BF=9；
∴BE=；
∴CE=××6==8；
∴EF=EB-FB=-9==7；
∵EF•EB=EC•EK，即7×=8×（8+2CD）；解得CD=3．
在Rt△BCD中，BC=12；因此sin∠DBC===．
又因为∠AFC=∠DBC，所以sin∠AFC=．