Question

（2008•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．

Answer

（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出答案．
（1）证明：连接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EDA，
∴OA∥CE．（3分）
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°．
∴∠OAE=∠DEA=90°．
∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切线．（5分）

（2）【解析】
∵BD是直径，
∴∠BCD=∠BAD=90°．
∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，
∴∠BDE=120°．（6分）
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA=60°．
∴∠ABD=∠EAD=30°．（8分）
∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴AD=2DE．
∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4DE．
∵DE的长是1cm，
∴BD的长是4cm．（10分）