Question

（2008•佛山）对于任意的正整数n，所有形如n³+3n²+2n的数的最大公约数是什么？

Answer

把所给的多项式利用因式分解写成乘积的形式：n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2）．因为n、n+1、n+2是连续的三个正整数，所以其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，可知n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍数，所以最大公约数为6．
【解析】
n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2），
∵n、n+1、n+2是连续的三个正整数，（2分）
∴其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，（3分）
∴n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍数，（4分）
又∵n3+3n2+2n的最小值是6，（5分）
（如果不说明6是最小值，则需要说明n、n+1、n+2中除了一个是2的倍数、一个是3的倍数，第三个不可能有公因数．否则从此步以下不给分）
∴最大公约数为6．（6分）