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(2008•广东)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜...

(2008•广东)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连接CD.
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(1)填空:如图1,AC=______
(1)根据勾股定理可得AC=BD==4;易知△ADC≌△BCD,利用四边形内角和是360°可得∠CDB=∠DCA=30°∵∠CAB=30°∴DC∥AB,∵AD=BC∴四边形ABCD是等腰梯形; (2)图中的三角形分为两类:30°,30°,120°;30°,60°,90度.按此找相似三角形即可; (3)过P作出△FBP的高.△FBP面积应等于FB×PK÷2,易得FB=AB-AF=8-k;则KB等于FB的一半,利用30°的正切值可求得FK的值.注意用t表示的线段应大于0. 【解析】 (1)4,4,等腰; (2)共有9对相似三角形. ①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似, 分别是:△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对) ②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对) ③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对) 所以,一共有9对相似三角形. (3)由题意知,FP∥AE, ∴∠1=∠PFB, 又∵∠1=∠2=30°, ∴∠PFB=∠2=30°, ∴FP=BP 过点P作PK⊥FB于点K,则FK=BK=FB. ∵AF=t,AB=8, ∴FB=8-t,BK=(8-t). 在Rt△BPK中,PK=BK•tan∠2=(8-t)tan30°=(8-t). ∴△FBP的面积S=•FB•PK=(8-t)•(8-t), ∴S与t之间的函数关系式为: S=(8-t)2,或S=t2-t+, t的取值范围为:0≤t<8.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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