Question

（2008•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为AB、CD的中点．连接AF并延长，交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ADF≌△GCF；
（2）若EF=7.5，BC=10，求AD的长．

Answer

根据梯形的性质，利用AAS可判定△ADF≌△GCF；根据中位线定理，可得到BC+AD=15，已知BC的长，那么AD的长自然就出来了．
（1）证明：∵AD∥BC，（AD∥BG）
∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G．（2分）
∵DF=CF，
∴△ADF≌△GCF．（4分）

（2）解法一：由（1）得△ADF≌△GCF，
∴AF=FG，AD=CG．（5分）
∵AE=BE，
∴EF为△ABG的中位线．
∴EF=BG．（6分）
∴BG=2×7.5=15．（7分）
∴AD=CG=BG-BC=15-10=5．（8分）

解法二：∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线．（5分）
∴EF=（AD+BC），（6分）
即7.5=（AD+10）．（7分）
∴AD=5．（8分）