Question

（2008•贵港）已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：AD=BD；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为3，sin∠F=，求DE的长．

Answer

（1）连接CD，由圆周角定理易得CD⊥AB，又有AC=BC，故AD=BD．
（2）连接OD，根据三角形中角的互余关系可得∠ODF=90°，故DF是⊙O的切线．
（3）根据三角函数的定义，可得sin∠F=，进而可得CF=5-3=2，再根据比例的关系，代入数据可得答案．
（1）证明：如图，连接CD，（1分）
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB．（2分）
∵AC=BC，
∴AD=BD．（3分）

（2）证明：连接OD，（4分）
∵∠A=∠B，∠AED=∠BDC=90°，
∴∠ADE=∠DCO．
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠CDO．
∴∠CDO=∠ADE．
由（1）得∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDO+∠CDE=90°．（5分）
即∠ODF=90°．
∴DF是⊙O的切线．（6分）

（3）【解析】
在Rt△DOF中，
∵sin∠F=，
∴OF=5．（7分）
∵OC=3，
∴CF=5-3=2．
由（2）得∠DEA=∠ODF=90°，
∴OD∥AC．
∴△CEF∽△ODF．（9分）
∴．（10分）
即．
∴DE=．（11分）