Question

（2008•防城港）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=8，BC=12，AB=4．动点E从点B出发，沿射线BA以每秒3个单位的速度移动；同时动点F从点A出发，在线段AD上以每秒2个单位的速度向点D移动．当点F与点D重合时，E、F两点同时停止移动．设点E移动时间为t秒．
（1）求当t为何值时，三点C、E、F共线；
（2）设顺次连接四点B、C、F、E所得封闭图形的面积为S，求出S与t之间的函数关系（要求写出t的取值范围）；并求当S取最大值时tan∠BEF的值；
（3）求当t为何值时，以B、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer

（1）当C，E，F三点共线时，△EAF∽△EBC，用t表示相关线段的长，用相似比求t；
（2）分两种情况，即：点E在线段AB上，点E在线段AB外；根据图形，分别表示面积及t的范围；
（3）以B、E、F为顶点的三角形是等腰三角形，有三种可能，即BE=BF，BE=EF，BF=EF，根据图形特点，结合勾股定理进行计算．
【解析】
（1）依题意得BE=3t，AF=2t，当C，E，F三点共线时，
∵AF∥BC
∴△AEF∽△BEF
∴=即：=；解得t2-6t+8=0，t1=2，t2=4
∴当t=2或4秒时，C、E、F三点共线．

（2）当0≤t＜时，S=（2t+12）×4-（4-3t）×2t=3t2+24；
当≤t≤4时，S=（2t+12）×4+12（3t-4）×2t=3t2+24
故当t=4时，S最大为72，此时BE=3t=12，tan∠BEF==1．

（3）当E点在线段AB上时，BE=EF，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
即（4-3t）2+（2t）2=（3t）2，解得t1=3-，t2=3+（舍去）；
当E点在线段AB以外时，
若BE=BF，则BE2=BF2，即（3t）2=42+（2t）2，解得：t=±（舍去负值）；
若BE=EF，则BE2=EF2，即（3t）2=（3t-4）2+（2t）2，解得t1=3-（舍去），t2=3+；
若BF=EF时，AB=AE，即4=3t-4，解得t=，
∴t=3-，，3+，秒时，以B、E、F为顶点的三角形是等腰三角形．