Question

（2008•遵义）如图（1）所示，一张平行四边形纸片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD把这张纸片剪成△AB₁D₁和△CB₂D₂两个三角形（如图（2）所示），将△AB₁D₁沿直线AB₁方向移动（点B₂始终在AB₁上，AB₁与CD₂始终保持平行），当点A与B₂重合时停止平移，在平移过程中，AD₁与B₂D₂交于点E，B₂C与B₁D₁交于点F，
（1）当△AB₁D₁平移到图（3）的位置时，试判断四边形B₂FD₁E是什么四边形？并证明你的结论；
（2）设平移距离B₂B₁为x，四边形B₂FD₁E的面积为y，求y与x的函数关系式；并求出四边形B₂FD₁E的面积的最大值；
（3）连接B₁C（请在图（3）中画出）．当平移距离B₂B₁的值是多少时，△B₁B₂F与△B₁CF相似？

Answer

（1）首先根据勾股定理的逆定理得到直角三角形ABD，再根据有一个角是直角的平行四边形判定该四边形是矩形；
（2）根据平行可以得到其中的两个小直角三角形和大直角三角形相似，再根据其对应边的比相等，求得矩形的长和宽，进一步表示出它的面积；
（3）若相似，则结合（2）中表示出的线段，写出相关的比例式，从而求得x的值．
【解析】
（1）四边形B2FD1E是矩形．
因为△AB1D1是平移到图（3）的，所以四边形B2FD1E是一个平行四边形，
又因为在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，BD=8，则有∠ADB是直角．所以四边形B2FD1E是矩形．

（2）因为△B2B1F与△AB1D1相似，
则有B2F=B1B2=0.6x，B1F=B1B2=0.8x，
所以SB2FD1E=B2F×D1F=0.6x×（8-0.8x）=4.8x-0.48x2
即y=4.8x-0.48x2=12-0.48（x-5）2
当x=5时，y=12是最大的值．

（3）要使△B1B2F与△B1CF相似，
则有或
即或，
解之得：x=3.6或5．