Question

（2008•鄂州）设x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x₁²+x₂²有最小值？最小值是多少？

Answer

设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，首先：△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0可求得a≤，得到了关于a的取值范围．对要求值的式子化简：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4，设y=2（a-2）2-4，这是一个关于a的一元二次方程，其对称轴是a=2，开口方向向上．根据开口向上的二次函数的性质：距对称轴越近，其函数值越小．故在a≤的范围内，当时，x12+x22的值最小；此时，即最小值为．
【解析】
∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴
又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．
设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．
∵
∴当时，x12+x22的值最小．
此时，即最小值为．