Question

（2008•鄂州）如图，已知：边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点．
（1）求弦DE的长．
（2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，三角形ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似？

Answer

（1）过D点作DF⊥AE于F点．则△DEF是等腰直角三角形，根据△ADP的面积就可以求出DF，则根据勾股定理得到DE．
（2）△ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似，应分Rt△ADP∽Rt△PCQ和Rt△ADP∽Rt△PCQ两种情况进行讨论．根据相似三角形的对应边的比相等，得到BQ的长．
【解析】
（1）如图1．过D点作DF⊥AE于F点．
在Rt△ADP中，（1分）
又∵S△ADP=AD•DP=AP•DF
∴（2分）
∵的度数为90°
∴∠DEA=45°
∴（4分）

（2）如图2．
当Rt△ADP∽Rt△QCP时有得：QC=1．
即点Q与点B重合
∴BQ=0（5分）
如图3，当Rt△ADP∽Rt△PCQ时，有得
即BQ=BC-CQ=（7分）
∴当BQ=0或时，三角形ADP与以点Q，C，P为顶点的三角形相似．（8分）