Question

（2008•鄂州）（1）如图，A₁，A₂，A₃是抛物线y=x²图象上的三点，若A₁，A₂，A₃三点的横坐标从左至右依次为1，2，3．求△A₁A₂A₃的面积．
（2）若将（1）问中的抛物线改为y=x²-x+2和y=ax²+bx+c（a＞0），其他条件不变，请分别直接写出两种情况下△A₁A₂A₃的面积．
（3）现有一抛物线组：y₁=x²-x；y₂=x²-x；y₃=x²-x；y₄=x²-x；y₅=x²-x；…依据变化规律，请你写出抛物线组第n个式子y_n的函数解析式；现在x轴上有三点A（1，0），B（2，0），C（3，0）．经过A，B，C向x轴作垂线，分别交抛物线组y₁，y₂，y₃，…，y_n于A₁，B₁，C₁；A₂，B₂，C₂；A₃，B₃，C₃；…；A_n，B_n，C_n．记为S₁，为S₂，…，为S_n，试求S₁+S₂+S₃+…+S₁₀的值．
（4）在（3）问条件下，当n＞10时有S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n的值不小于，请探求此条件下正整数n是否存在最大值？若存在，请求出此值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知抛物线解析式，求出A1，A2，A3三点的坐标，根据图中几何关系把所求三角形的面积，转化为一个大梯形面积减去两个小梯形的面积，从而求出三角形的面积．第二问与第一问解法一样；
（3）由y1，y2…y5的表达式，归纳出yn的表达式，同时推出面积公式Sn，然后求和．
（4）由（3）的结论，先求和再求n是否存在最大值．
【解析】
（1）∵A1（1，），A2（2，1），A3（3，），（1分）
∴S△A1A2A3=S梯形A1ACA3-S梯形A1ABA2-S梯形A2BCA3=．
（3分）

（2）①，（4分）
②．（5分）

（3）由规律知：或写成（），（6分）
由（1）（2）知：S1+S2+S3+…+S10===．（8分）

（4）存在，
由上知：Sn-10+Sn-9+Sn-8+…Sn===，（9分）
∵
∴，
∵n＞10，
∴n2-9n-10＞0，
∴n2-9n-10≤242，（10分）
解得-12≤n≤21，
又∵n＞10，
∴10＜n≤21，（11分）
∴存在n的最大值，其值为n=21．（12分）