Question

（2008•衡阳）如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），E为线段AD上的一个动点（点E不与A，D两点重合），连接FC，过E点作EF⊥EC交AB于F，连接FC．
（1）△AEF与△DCE是否相似？并说明理由；
（2）E点运动到什么位置时，EF平分∠AFC，证明你的结论．

Answer

（1）相似．用∠FEC=90°，可得到△AEF和△DCE一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似．
（2）有EF平分∠AFC，可得∠AFE=∠EFC，那么两角在各自直角三角形里的正切值相等，可，再由（1）知△AEF∽△DCE，又可得到比例线段：，两式联合可得，，就有AE=DE，即E是AD中点时，EF平分∠AFC．
【解析】
（1）∵∠FEC=90°∴∠AEF+∠DEC=90°，
而ABCD是矩形，∴∠AFE+∠AEF=90°，∴∠DEC=∠AFE，
又∵∠A=∠D，∴△AEF∽△DCE．

（2）∵EF平分∠AFC，∴∠AFE=∠EFC，∴，
同理可得，tan∠AFE=，∴，
又∵△AEF∽△DCE，∴，∴
∴AE=DE，∴E是AD的中点时，AE平分∠AFC．