Question

（2008•邵阳）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S_△MNC，△ABC的面积为S_△ABC．
（1）求证：△MNC是直角三角形；
（2）试求用x表示S_△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
①当直线AD与⊙N相切时，试探求S_△MNC与S_△ABC之间的关系；
②当S_△MNC=S_△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）利用平行线的性质和等量代换，易得△ABM∽△ACN，再由等量代换得到∠MCN=90°即可；
（2）由于△MNC是直角三角形，则有S△MNC=MN•CN，而MC=4-x，故利用相似三角形的对应边成比例用含x的代数式表示出CN，就可求得S△MNC的函数关系式．
（3）①当直线AD与⊙N相切时，利用AN=NC，确定出CN的值后，用2中的S△MNC的函数关系式，确定S△MNC与S△ABC之间的关系；②当S△MNC=S△ABC时，求得x的值，讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系．
【解析】
（1）MN∥DE，∴，
又∵AD=AB，AE=AC，∴，
又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，
∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，
∴AC=2，AB=2，
∴△ABM∽△ACN，∴，
∴，
∴S△MNC=CM•CN=（4-x）•x=（4x-x2）（0＜x＜4）．

（3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴，∴AM=MB．
∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．
又∵∠ACB=90°-30°=60°
∴△AMC是等边三角形，有AM=MC=BM=BC=2，即x=2．
S△MNC=（4x-x2）=，∵S△ABC=AB•AC=2，
∴S△MNC=S△ABC．
②当S△MNC=S△ABC时
∴S△MNC=（4x-x2）=解得x=1或x=3．
（i）当x=1时，
在Rt△MNC中，MC=4-x=3，∴MN==
∵，即AN＞NC，
∴直线AD与⊙相离．
（ii）当x=3时，
同理可求出，NC=，MC=1，MN=2，AN=1
∴NC＞AN
∴直线AD与⊙相交．