Question

（2008•湘西州）如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的正方形AOBC，M为OB的中点，将△AOM沿直线AM对折，使O点落在O′处，连接OO′，过O′点作O′N⊥OB于N．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）判断△AOM与△ONO′是否相似，若是，请给出证明；
（3）求O′点的坐标．

Answer

（1）因为正方形的四边都相等，所以A，B，C点的坐标结合图很好写出；
（2）△AOM∽△ONN′，由于△AOM和△AOM’关于AM对称，故有OO′⊥AM．再根据同角的余角相等，可得∠1=∠2，再加上一对直角，那么两个三角形相似．
（3）先利用勾股定理求出AM，即是OO’，再利用相似比可求出ON，O’N的值，故可求出O’的坐标．
【解析】
（1）∵OA=OB=2，
∴A（0，2）、B（2，0）、C（2，2）．（3分）

（2）△AOM∽△ONO’（4分）
证明：∵四边形AOBC是正方形，
∴∠AOM=90°．
又O’N⊥OB，
∴∠ONO'=90°．
∴∠AOM=∠ONO’=90°．
又根据对称性质可知：
AM⊥OO’于D点，
∴在Rt△ODM中，∠1+∠3=90°．
在Rt△AOM中，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∴△AOM∽△ONO’（6分）

（3）∵M是OB的中点，
∴OM=•OB=1．
∴在Rt△AOM中，AM=．
又∵OD是Rt△AOM斜边上的高，
∴．
∴．（8分）
又∵△AOM∽△ONO’，
∴．
．
∴．
∴．（10分）