Question

（2008•湘西州）已知抛物线y=-（x+2）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标；
（3）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），过E作EF∥AC交BC于F，连CE，设AE=m，△CEF的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上说明S是否存在最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据方程的两个根及函数的对称轴，易求A，B，C三点坐标；
（2）求出函数解析式，根据定点画出平滑的曲线；
（3）由勾股定理求出AC的长，由三角形内的平行关系，得到一个比例关系，从而求出EF，作辅助线把△CEF的面积用m表示出来，再求出其最值，并求出顶点坐标，也解决了第三问．
【解析】
（1）方程x2-10x+16=0的两根为x1=8，x2=2，
∴OB=2，OC=8，
∴B（2，0）C（0，8）
∵函数y=-（x+2）2+k的对称轴为x=-2，
∴A（-6，0），
即A（-6，0）B（2，0）C（0，8）．（3分）

（2）B点在y=-（x+2）2+k上，
∴0=-（2+2）2+k，
∴k=．（5分）
函数解析式为y=-（x+2）2+，
顶点坐标为-2，），大致图象及顶点坐标如右．（7分）

（3）∵AE=m，AB=8，
∴BE=8-m，
∵OC=8，OA=6，据勾股定理得AC=10，
∵AC∥EF，
∴即，EF=，（10分）
过F作FG⊥AB于G，
∵sin∠CAB=sin∠FEB=，
而sin∠FEB=，
∴FG=8-m．  12分
∵S=S△CEB-S△FEB=×BE×OC-×BE×FG=-m2+4m，
∴S与m的函数关系式为S=-m2+4m，m的取值为0＜m＜8．

（4）∵S=-m2+4m中-，
∴S有最大值．
S=-（m-4）2+8，当m=4时，S有最大值为8，
E点坐标为：E（-2，0），
∵B（2，0），E（-2-，0），
∴CE=CB
∴△BCE为等腰三角形．