Question

（2008•益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

Answer

（1）易得点A、B的坐标，用交点式设出二次函数解析式，把D坐标代入即可．自变量的取值范围是点A、B之间的数．
（2）先设出切线与x轴交于点E．利用直角三角形相应的三角函数求得EM的长，进而求得点E坐标，把C、E坐标代入一次函数解析式即可求得所求的解析式．
（3）设出所求函数解析式，让它与二次函数组成方程组，消除y，让跟的判别式为0，即可求得一次函数的比例系数k．
【解析】
（1）根据题意可得：A（-1，0），B（3，0）；
则设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0），
又∵点D（0，-3）在抛物线上，
∴a（0+1）（0-3）=-3，解之得：a=1
∴y=x2-2x-3（3分）
自变量范围：-1≤x≤3（4分）

（2）设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连接CM，
在Rt△MOC中，
∵OM=1，CM=2，
∴∠CMO=60°，OC=
在Rt△MCE中，
∵MC=2，∠CMO=60°，
∴ME=4
∴点C、E的坐标分别为（0，），（-3，0）（6分）
∴切线CE的解析式为（8分）

（3）设过点D（0，-3），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3（k≠0）（9分）
由题意可知方程组只有一组解
即kx-3=x2-2x-3有两个相等实根，
∴k=-2（11分）
∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3．（12分）